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“特征信息”的捕捉与解题的最优化
  丁保荣在文[1]中,提出了一个十分重要的问题:通过捕捉题设(或结论)中的“特征信息”,优化解题思路.罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述,尤其是在解题分析中,非常重视解题速度、解题的最优化问题.[2][3]
 文[1]的例1、例2的“特征信息”,其实都可以联系到一个重要不等式:
 定理 若a,b∈R,则(a+b)2≥4ab.
 文[1]的例1尽管给出了三种解题思路,但是却有美中不足:尚未揭示出其最优解题思路;例2虽巧妙地构造出二次方程,但仍然缺乏最优化思考.
 本文旨在展示平凡的定理(a+b)2≥4ab在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征.
 首先,通过“等导不等”来证明这个定理:
 (a+b)2=4ab+(a-b)2≥4ab,
当且仅当a=b时,等号成立.
 下面列举一系列数学问题,其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理(a+b)2≥4ab.限于篇幅,解题时不作一一分析,只展现定理的最优化解题思路.
 例1 已知实数a,b,c满足等式a=6-b,c2=ab-9,求证:a=b.  (文[1]例1)
 证明:依定理(a+b)2≥4ab,即62≥4(c2+9),得c=0,从而a=6-b,ab-9=0,解得a=b=3,故证毕.
 例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,则x,y,z成等差数列. (1979年全国高考题)
 证明:由题设知(z-x)2=4(x-y)(y-z),而依本文定理,则有(z-x)2=(x-z)2=[(x-y)+(y-z)]2≥4(x-y)(y-z),可见x-y=y-z,从而x,y,z成等差数列.
例3 方程组x+y=2,的实数解的组数是(  ).
xy-z2=1

 A.1  B.2  C.3  D.无穷多 (1987年上海市初中数学竞赛试题)
 解:依定理知,(x+y)2≥4xy,则22≥4(z2+1),得z=0,原方程组化为
x+y=2,显然只有一解x=y=1,故选A.
xy=1,

 例4 已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c中必有一个大于3/2.  (1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题)
 证明:由题知,a,b,c中必有一个是正数,不妨设c为正数.依定理(a+b)2≥4ab,得(-c)2≥4·(1/c),或c3≥4,于是c≥ > =3/2,故得证.
 注意:此处还有意外收获,原题结论还可改进为:求证:a,b,c中必有一个不小于 .
 例5 a,b,c,d都是小于1的正数,求证:在4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中,不可能都大于1.  (1962年美国数学竞赛试题)
 证明:巧妙地逆用定理,注意4a(1-b)·4b(1-c)·4c(1-d)·4d(1-a)=4a(1-a)·4b(1-b)·4c(1-c)·4d(1-d)≤[a+(1-a)]2·[b+(1-b)]2·[c+(1-c)]2·[d+(1-d)]2=12·12·12·12=1,由此可见,4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中不可能都大于1.
 例6 已知x>0,y>0,且x+y=4,S=(6-x)·(5-y),求S的最大值.
 解:依定理,知4S=4(6-x)(5-y)≤[(6-x)+(5-y)]2=[11-(x+y)]2=(11-4)2=49,S≤49/4,当x=21/2,y=11/2时,Smax=49/4.
 当然,定理最主要还是应用于巧证不等式方面.
 例7 已知 y-2x=z,求证:y2≥4xz.  (文[1]例2)
 证明:由题设,知 y=2x+z.依定理,知( y)2≥4·2x·z,或2y2≥8xz,即y2≥4xz,证毕.
 纵观以上各例,依定理解题,显得规律有序,思路清晰,方法简便,且显然优于原来的方法.
 例8 正数x,y,z,a,b,c满足条件a+x=b+y=c+z=k.求证:ax+by+cz<k2.  (1987年(前)苏联数学奥林匹克试题)
 证明:传统证法大半是构造正三角形或正方形,利用面积关系证之.今依定理,即刻知

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