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变式教学中习题引申应注意的几个问题

  “引申”主要是指对例习题进行变通推广,重新认识.恰当合理的引申能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,开阔学生的视野,激发学生的情趣,有助于培养学生的探索精神和创新意识,并能使学生举一反三、事半功倍.笔者在教学视导中发现,有些教师对引申的“度”把握不准确,不能因材施教,单纯地为了引申而引申,给学生造成了过重的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理,“高投入、低产出”,事倍而功半.下面就引申要注意的几个问题谈点个人的看法.
 1 引申要在原例习题的基础上进行,要自然流畅,不能“拉郎配”,要有利于学生通过引申题目的解答,加深对所学知识的理解和掌握 
  如在新授定理“a,b∈R+,(a+b)/2)≥ (当且仅当a=b时取“=”号)”的应用时,给出了如下的例题及引申:
 例1 已知x>0,求y=x+(1/x)的最小值.
 引申1 x∈R,函数y=x+(1/x)有最小值吗?为什么? 
  引申2 已知x>0,求y=x+(2/x)的最小值; 
  引申3 函数y=(x2+3)/ 的最小值为2吗? 
  由该例题及三个引申的解答,使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握,为定理的正确使用打下了较坚实的基础. 
  例2 求函数f(x)=sin(2x/3)+cos[(2x/3)-(π/6)]的振幅、周期、单调区间及最大值与最小值. 
  这是一个研究函数性质的典型习题,利用和差化积公式可化为f(x)=cos((2x/3)-(π/3)),从而可求出所要的结论.现把本例作如下引申: 
  引申1 求函数f(x)=sin(2x/3)+cos[(2x/3)-(π/6))的对称轴方程、对称中心及相邻两条对称轴之间的距离. 
  引申2 函数f(x)=sin(2x/3)+cos((2x/3)-(π/6))的图象与y=cosx的图象之间有什么关系? 
  以上两个引申的结论都是在相同的题干下进行的,引申的出现较为自然,它能使学生对三角函数的图象及性质、图象的变换规律及和积互化公式进行全面的复习与掌握,有助于提高学习效率.
 2 引申要限制在学生思维水平的“最近发展区”上,引申题目的解决要在学生已有的认知基础之上,并且要结合教学的内容、目的和要求,要有助于学生对本节课内容的掌握 
  如在新授定理“a,b∈R+,(a+b/2)≥ (当且仅当a=b时取“=”号)”的应用时,把引申3改为:求函数y=(x2+3)/ 的最小值,则显得有些不妥.因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用,而解答引申3不但要指出函数的最小值不是2,而且还要借助于函数的单调性求出最小值,这样本堂课就要用不少时间去证明单调性,“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授;但若作为课后思考题让学生去讨论,则将是一种较好的设计.
 3 引申要有梯度,循序渐进,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率 
  如在新授利用数学归纳法证明几何问题时,《代数》(非实验修订本)课本给出了例题:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于(1/2)n(n-1).在证明的过程中,引导学生注意观察f(k)与f(k+1)的关系有f(k+1)-f(k)=k,从而给出: 
  引申1 平面内有条n直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求这n条直线共有几个交点? 
  此引申自然恰当,变证明为探索,使学生在探索f(k)与f(k+1)的关系的过程中得了答案,而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解.类似地还可以给出 

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