提高例题教学有效性的几点策略 - 教学论文


  样例学习理论认为,数学教学中,数学例题教学消除了抽象的数学理论架构和学习者认知之间产生的障碍,易化了知识与技能的获得过程和途径,大大减轻了学习者的认知负荷和缩短了学习者的学习时限,有利于提高数学教学效率。正因如此,数学例题无时不处在课堂教学的节骨眼上,现行教材中的每一个数学知识点后总是带有例题,以帮助学生理解、掌握、运用所学习的数学知识。学习者通过例题学习,获取例题所蕴涵的知识、方法或原理,把例题所含有的直接或者间接信息逐步内化为自己的思维活动经验与结果,在随后解决问题的活动中,通过类比例题,形成其有效地解决问题策略和方法。

  新课程标准指出:作为课堂教学的对象,学生是衡量教学有效性的载体,对例题教学的有效性的考察不能光看教学目标是否有效达成,更要关注学生的独立分析问题、解决问题的能力是否提高,学习结果是否增进,学习体验是否得到强化,活动经验是否得到积累。在近几年的教学中,我注意到影响数学例题教学效果的原因有许多:教师例题设计不典型、没有层次、或者是垄断课堂、不能有针对性地讲解,学生不去审题、不会分析、不会听讲、不知反思等等。下面结合教学实践中的一些案例,就如何提高例题教学的有效性谈谈自己的几点策略。

  一、精心设计,螺旋变式

  数学课程标准指出:教师的教学是“用教材教”的过程,而不是教“教”教材的过程。这就是说,一方面,教师的教材的理解者、参与者、实践者;另一方面,教师要跳出教材,超越教材。大师叶圣陶说得好:“教材无非是个例子。”既然是例子,说明教材不是教学的全部,教师要创造性地利用教材,自然要创造性地利用教材中的数学例题,教材中的例题进行适当的取舍和调整,进行改编、变式、拓展、深化等,并吸收生活中的鲜活题材,设计符合学生最近发展区的数学例题。螺旋变式帮助学生建构有价值的变式探索研究,展示数学知识发生、发展和应用的过程,有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探究变得规律。如浙教版八年级下册一例题:

  已知,如右图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.

  变式1、求证:顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形。

  变式2、求证:顺次连结菱形各边的中点所得的四边形是矩形。

  变式3、求证:顺次连结正方形各边的中点所得的四边形是正方形。

  变式4、顺次连结什么四边形的中点得到平行四边形?

  变式5、顺次连结什么四边形的中点得到距形?

  变式6、顺次连结什么四边形的中点得到菱形?

  本例以三角形中位线知识为依托,作为“不变”桥梁,层层深入设计问题,螺旋变式,使学生充分掌握四边形这一章节所有基础知识和基本概念,强化沟通常见特殊四边形的性质定理、判定定理等,极大拓展学生的解题思路,活跃思维,激发兴趣。著名的数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题如同蘑菇类似,他们都成堆地生长,找到一个后,你应该在周围找一找,很可能附近就有好几个。”螺旋变式的形式较多,如条件变式、结论变式、题型变式、图形变式、逆向变式、延伸变式等,教材中能进行变式的例题也较多,只要教师能“找一找”,就能发现“蘑菇”群。

   二、通规通法,正确示范

  数学通规通法是研究数学乃至解决数学问题的重要途径,在例题教学中重视通规通法,有利于强化学生的数学基础,发展数学能力,培养数学思维。在初中数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、消元法、特殊值法等。透过这些方法体会数学思想,包括转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。例如,解分式方程的基本思想是转化为整式方程,通用的方法是去分母和换元法;解方程组的基本思想是消元,将多元方程转化为一元方程,基本方法是代入消元法和加减消元法;四边形及圆的问题经常转化为三角形问题来解决等。下面通过一个例子谈谈通规通法在解题中的优势所在。

  用待定系数法解确定二次函数解析式是一种重要的解题方法。二次函数解析式的基本形式有下面三种:

  1.一般式:;

  2.顶点式:,为二次函数图像的顶点坐标;

  3.两根式:,是二次函数图像与轴两个交点的横坐标。

  二次函数的基本形式决定以下几点:

  (1)已知抛物线上任意三点求二次函数的解析式,用一般式比较简便;

  (2)已知抛物线的顶点坐标求二次函数的解析式,用一般式比较简便;

  (3)已知抛物线与轴两个交点的横坐标求二次函数的解析式,用双根式比较简便。

  在求二次函数解析式中,教师就可以引导学生根据题意选择最简便的方法求解析式,学生解题的正确性和解题速度会有很大的提升,解题能力也就相应提高。例如,已知二次函数,当时,函数有最大值为5,且二次函数图像经过,求二次函数解析式。此例可以根据顶点式的函数解析式,假设。

  通规通法在解实际应用性问题中也颇具优势。通常,用方程解应用性问题一般涉及三个基本量,其中一个是已知的,在解题时我们一般假设第二个量,然后根据第三个量的的相等关系得出方程。如浙教版七下第七章《分式》一例题:

  某地电话公司调低了长途电话的话费标准,每分费用降低了25%,因此按原收费标准6元话费的通话时间,在新收费标准下可多通话5分钟时间。问前后两种收费标准每分收费各是多少?

  分析:本题涉及通话总价,通话单价,通话时间三个基本量,通话总价是已知量,其余两个量是未知量,可以假设原通话单价为元/分钟,从通话时间的相等关系(即现6元可通话时间—原6元可通话时间=5),易得方程:。当然也可接假原通话时间为分钟,从通话单价的相等关系(即现通话单价=75%×原通话单价),可得方程:。

  这种通规通法的分析,思路清晰,数量关系简单明了,学生解题容易上手,教学效果较佳。控制论意义上的教学理论认为,学生学习技能的主要途径是观察、模仿、操练、记忆与熟练化,其中,模仿过程尤为重要,它是把观察到的活动转化为观察主体相应的运动机能的过程,库贝认为存在4种以模仿来获得技能的重要策略,它们就是:反复示范、结构化、改进反馈过程和反复训练。而数学例题教学的一个基本功用是范例的作用,起规范、引导的作用,它展示的是专家的解题思路和解题技法,是经过了数学教学法适当加工的解法思路和过程,为大多数学生提供了数学效仿和模仿对象。所以教师在例题教学中要注重通规通法的教学与分析,要注重板书得规范与完美,特别在新授课中,教师的教学行为直接会对学生的首映效应产生直接的影响。黄毅英先生所说的先“入法”到“出法”的学习模式,就是先要让学生从教师的例题教学中先“入法”,即能模仿例题解决类似问题,经过螺旋变式,触类旁通,举一反三,不断积累解题经验并内化为自身的解题能力,实现“出法”。

  三、典例多解,拓展思维

  学习数学,离不开思维。数和形的种种内在联系和相互关系,特别是它们的本质属性和科学规律,仅仅依靠感觉、知觉或表象是难以认识的,只有通过思维才能深刻理解,牢固掌握。在思维过程中,不同机智常交织在一起。数学中某些题的一题多解就可能同时训练多种机智。在教学中能求新、求变,实行开放式教学,逐步引导学生探求新的方法和知识,则能激发学生的学习积极性,达到最佳的教学效果。让学生探索多种解法,培养发散性思维。美国心理学家布鲁纳有句名言:“探索是教学的生命线”。学生经过探索易于找到多种解法,这样既学习了新知识,又激活了学生的思维,为继续探索打下基础。如浙教版八下第六章《特殊的平行四边形与梯形》一例题:

  如右图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,已知∠B=60度,AD=15,AB=45,求BC的长。

    梯形问题通常转化为三角形问题,本题可用五种方法作辅助线进行解题:

  法一:分别过A、D作BC的垂线AE,DF,分别交BC于E、F点;

  法二:过D作DE∥AB,分别交BC于E点;

  法三:延长CD,BA交于点E;

  法四:取CD的中点E,连接AE,延长AE与BC的延长线交与点F;

  法五:连接AC,过D作AC的平行线与BC的延长线交与点E。

  赞可夫说:“教会学生思考,对学生来说,是一生中最有价值的本钱”。本例让学生用不同的方法解题,把特殊三角形、全等三角形、平行四边形、梯形等知识融入其中,既拓展了学生思维,把数学嵌入活的思维活动中,又使学生在做数学,谈数学,用数学的过程中学习知识,掌握方法。在例题教学过程中,为了让学生在解题中有更广阔的思维空间,尝试进行问题解决式研究,可以选择一些典型例题让学生思考多种方法进行解题。

  四、反思提炼,促进迁移

  数学有效教学的重要指标,是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题,从一个情境迁移到另一个情境,数学学习过程和数学学习迁移存在密切关系,数学学习的迁移过程更是一个数学知识的相互作用、逐渐整合的过程,是直接影响学习者的数学能力形成的重要因素。通过数学例题教学,引导学生对例题的解题过程、例题特点、例题结论等方面进行反思,提炼解题经验,学生在练习中以例题为默会对象,领悟来自于例题的解题反思和启示。随着练习的不断深入,理解能力的提高,综合能力、分析问题解决问题能力、概括能力的逐渐提高,学生不仅能概括或抽象出例题的解决原理,还把例题的原理方法迁移到其它同类问题或相似问题的解决上,形成有效地数学迁移,提高数学学习效率。如浙教版九下第三章《直线与圆、圆与圆的位置关系》一例题:

  木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径。如图,直尺的较短边紧靠于点A,较长边与相切于点C。记直尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm,求的半径。

  解连接OA,OC,作,垂足为D,设的半径为r.

  与相切于点,

  四边形ABCD是矩形

  .

  在中,,即,解得

  得半径为20cm.

  在解题完毕之后,教师可以引导学生对这些方面进行反思提炼,促进学生的学习迁移:

  1、所用的数学思想有——转化思想和方程思想,在圆中求边长的问题转化为三角形和特殊的四边形问题来解决,在求解半径时是利用方程模型来解题。

  2、在圆中,作辅助线构造直角三角形或特殊四边形的方法通常有:

  (1)作半径或者直径;

  (2)作直径所对的圆周角;

  (3)作弦的垂线段;

  (4)有切点时,把圆心和切点连接起来,可得直角。

  3、除了以上的反思提炼外,教师还可以引导学生总结初中几何中建立方程进行解题的四种基本形式并且举出相应的例子(文章篇幅所限,例子不详举):

  (1)构造直角三角形利用勾股定理得出方程(如本例);

  (2)利用相似三角形对应边成比例得出方程(如浙教版九下56页第4题);

  (3)利用三角函数的边之比得出方程(如浙教版九下23页第3题);

  (4)同一线段的长度的不同表示法或者同一图形的面积不同表示法得出方程。

  例题教学中,反思提炼环节是提高学生分析能力和解题能力,促进学生学习迁移的一条重要途径。有了反思提炼,教师就不会出现反复操练的盲目性,有利于消灭“题海战术”,实现轻负高效;有了反思提炼,学生就会既见树木,又见森林,就容易把数学过程对象化,而不是把数学看成一些过程,一些细枝末节;有了反思提炼,学生就不会只停留在会模仿、会计算、会变形、会套公式的认知上,知道还有更重要的东西要学,那就是数学思想和方法、数学思维方法。