浅析运动中的关联速度和相对速度


  摘要:本文通过范例介绍了使用关联速度和相对速度的解题方法。

  关键词:关联速度;相对速度

  引言 运动的合成和分解是连接直线运动和曲线运动的桥梁,是处理复杂曲线运动问题的基础,也是曲线运动的重点和难点,还可以和功能关系相结合成为考点,历来也是学生容易出错的地方。学生在遇到这类题的时候,往往分不清合速度与分速度,从而对速度胡乱分解而导致出错。

  1 关联速度

  ① 两个物体通过细绳关联,连接点在细绳的两端点。

  例1 如图1所示,A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧,并分别置于光滑水平面上,若A车以速度v0向右匀速运动,当绳与水平面的夹角分别为α和β时,B车的速度是多少?

  分析 由于轻绳不可伸长,因此轻绳两端的连接点速度大小相等。A车在向右运动的过程中产生了两个效果:使右边的绳长度变长以及使右边的绳绕O点发生转动,同时B车在向右运动的过程中也产生了两个效果:使左边的绳变短以及使左边的绳绕O点发生转动。因此把A车和B车的速度沿绳和垂直绳分解,其中A车和B车沿绳的速度发生关联,速度大小相等。

  解 如图2所示,对A的速度进行分解,得

  v0cosβ=v①

  对B的速度进行分解,得

  vBcosα=v②

  联立①②得:

  vB=cosβcosαv0

  ②两个物体通过直杆关联,连接点在直杆的两端点。

  例2 如图3所示,均匀直杆上连着两个小球A、B,不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时,B球水平速度为vB,加速度为aB,杆与竖直夹角为α,求此时A球速度和加速度大小。

  分析 由于直杆不可伸长,因此直杆两端的连接点速度大小相等。因此把A和B的速度沿杆和垂直杆分解,其中A和B沿杆的速度发生关联,速度大小相等。

  解 如图4所示,对A的速度进行分解,得

  vAcosα=v①

  对B的速度进行分解,得

  vBsinα=v②

  联立①②得:

  vA=vBtanα

  同理对A、B的加速度进行分解,得:

  aA=aBtanα

  ③两个物体直接接触,连接点在两物体的接触点。

  例3 如图5所示,斜面B的倾角为30°,斜面尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上,现将一个质量与斜面质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜面之间,并从图示位置由静止释放,不计一切摩擦,求此后运动中,(1)斜面的最大速度;(2)球触地后弹起的最大高度。(球与地面作用中机械能的损失忽略不计)

  分析 取球A和斜面B的接触点C为连接点,A在下落的过程中接触点C相对于沿斜面向下运动,因此可以把A的速度分解到沿斜面向下和垂直斜面两个方向;而B在向右运动的过程中接触点C相对于中国论文联盟www.lwlm.com整理球向上运动,因此可以把B的速度分解到沿斜面向上和垂直斜面两个方向,其中垂直斜面的速度发生关联,速度相等。

  解 (1)A加速下落,B加速后退,当A落地时,B速度最大。选取A和B作为系统研究,整个过程中,斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零,所以系统机械能守恒。

  mg(h-r)=12mvA2+12mvB2①

  由图中几何知识知:

  h=cot30°•r=3r②

  如图6,把A和B的运动分解为沿斜面和垂直斜面的运动。

  两物体在垂直斜面方向不发生相对运动,所以vAcos30°=vBsin30°③

  解得

  vA=(3-1)gr2,vB=3(3-1)gr2

  (2)A落地反弹速度大小v′A=vA,做竖直上抛运动的最大高度:Hm=v′A22g=(3-1)r4

  2 相对速度

  要研究物体A的运动,而A又在物体B上相对于B运动,这里就存在一个相对速度的问题。当A对地面的速度和B对地面的速度在一条直线上时,属于一维情况,我们只需要规定一个正方向就可以处理;但是当A对地面的速度和B对地面的速度不在一条直线上的时候,这就属于二维情况,我们可以用平行四边形法则或三角形法则来处理。其中A对地面的速度、B对地面的速度和A相对于B的相对速度满足速度的矢量和,vA=vB+vAB,很明显,A对地面的速度为合速度,B对地面的速度和A对B的相对速度为两个分速度,处理这类问题的关键是抓住物体A对地面的速度为合速度。

  例4 气象台测得风速为4m/s,一辆汽车向西行驶,汽车上风速计、风向标测得风自正北吹来,风速为2m/s。求汽车速度和实际风向。

  分析 气象台测得风的速度为对地面的速度,因此为风的合速度,而汽车的速度以及风相对汽车的速度为两个分速度。

  解 如图7所示,v汽=v12-v22

  =42-22=23m/s

  cosθ=12,θ=60°

  该风为东北风,北偏东60°。

  例5 水平桌面上一平板以速度v1匀速运动,A、B形成的光滑槽固定在桌面上,质量为m的物体与平板的动摩擦因数为μ,物体在沿槽的力的作用下沿槽以速度v2匀速运动,求该力的大小。

  分析因为光滑槽固定在桌面上,桌面不动,所以v2为物体对槽也就是相对地的速度,为合速度,平板的速度v1和物体相对于平板的速度为两个分速度,而物体所受平板施加的滑动摩擦力阻碍物体相对平板的运动,方向和物体相对于平板的相对速度方向相反。

  解 如图9所示,cosθ=v2v12+v22①

  物体水平方向受力如图,得:

  F=f•cosθ②

  f=μmg③

  解得F=μmgcosθ