三个宇宙速度的多种推导及教学启示



  高中物理(必修2)中的《宇宙航行》一节对三个宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推导,这一内容的引入对于中学阶段的学生来说具有非常重要的意义,也是对人类飞天从梦想到圆梦这一历史进程的回顾。教参及高考都明确要求学生掌握三个宇宙速度的含义和数值,并且会推导第一宇宙速度。然而,笔者在教学过程中发现,许多学生在学完第一宇宙速度之后,总是在不断询问和疑惑另外两个宇宙速度的推导过程。笔者觉得,作为一名合格的高中物理教师,不仅仅要传授给学生必备的高考知识,更应该去帮助学生答疑解惑,并且以此来激发学生的科学探究精神,进而来拓展他们想象和思考的空间,而不是单纯的把问题留给学生。下面笔者分别采用多种方法来推导这三个宇宙速度,以期起到抛砖引玉的作用。

  1    第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推导

  1.1    方法1

  当一颗卫星被发射后在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动而不落回地面,此时卫星具有的速度即为第一宇宙速度v1。设地球质量为M,卫星质量为m,卫星到地心的距离为r,由圆周运动知识得:  =  (1)。近地卫星高度一般在100 km~200 km,与地球半径6400 km相比,完全可以理解成是在“地球表面附近”运行,故可以用地球半径R代表卫星的轨道半径r。将r=R=6.4×106 m代入(1)式可得:v1=7.9 km/s。

  1.2    方法2

  地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2,直接利用重力提供向心力得:  =mg(2)。将r=R代入(2)式得:v1=  =7.9 km/s。

  1.3    应用运动的合成与分解规律推导

  众所周知,按照第一宇宙速度稳定运行的卫星,其运动轨迹基本上与地球大圆重合。如图1所示,卫星从A点运动到C点的运动,可以看成是沿切线AB方向的匀速直线运动和BC方向的自由落体运动的合运动。这是由卫星沿切线方向不受力,沿径向只受重力所决定的。AB=v1t,BC=  gt2,地球半径为R,由于卫星高度可以忽略不计,根据几何关系可得:(R+  gt2)2=R2+(v1t)2 (3)。

  图1  卫星从A点运动到C点

  cosθ=  =    (4)。(3)(4)联立得:

  -  v    +R=0,解之仍有v1=  =7.9 km/s。

  卫星按照第一宇宙速度运行时,因其特殊的位置特点,又被称为最小的发射速度和最大的环绕速度。

  2    第二宇宙速度的推导

  2.1    动能定理结合微积分知识推导

  从地面发射一颗人造天体,使之脱离地球的引力束缚不再飞回地球所需要的最小发射速度,称为第二宇宙速度。假设该人造天体飞至距离地球无穷远处的速度恰好为零,在此过程中根据动能定理得:W=0-  mv    (5)。W为地球引力对人造天体所做的功。由于在飞离地球的过程中,历经的空间尺度特别大,所以万有引力为变力。对于该过程中的万有引力做功貌似无法求出,其实根据高中学生已经掌握的微积分知识可得:

  W=-    dr=    =-  ,

  即:W=-   (6)

  其中M为地球质量,m为卫星质量。(5)(6)两式联立得:v2=  =11.2 km/s。

  2.2    利用引力势能表达式

  根据上面的万有引力做功的表达式,选择距离地球无穷远处的引力势能为零,不难得到距离地心距离为r处的引力势能表达式:Ep=-  (7)。按照第二宇宙速度发射人造天体时,在地球表面时具有的机械能为:E1=-  +  mv    ,在无穷远处,E2=0。飞行过程中只有引力做功,根据机械能守恒定律得:E1=E2,也可求得v2=  =11.2 km/s。

  第二宇宙速度是在地面使物体脱离地球引力束缚的最小速度,所以第二宇宙速度又叫脱离速度。对于发射速度大于11.2 km/s的人造天体来说,虽然逃脱了地球的引力束缚,但是仍然要受到太阳的吸引,从而成为太阳系的人造行星。

  3    第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推导

  在思考第三宇宙速度的求解方法时,许多学生都倍感困惑,感到是“老虎吃天——无从下口”。其实,从推导第二宇宙速度的解法模型中我们可以知道:如何求将一个离太阳1.5亿公里的相对于太阳静止的物体脱离太阳引力束缚需要的速度v'1的方法;再考虑到地球公转速度的因素,发射速度会相应的减小到v'2;最后再将发射时地球引力的影响因素考虑进去,还需要克服地球引力做功,速度再相应的增大至某一速度,这个速度就是第三宇宙速度v3。根据以上的分析不难得:  mv    +(-  )=0  (8)。其中M  =2×1030 kg,r  =1.5×1011 m,代入得:v'1=  =42.2 km/s。由于地球围绕着太阳公转,根据万有引力提供向心力得:  =  (9)。代入数据得公转速度v'2=  =29.8 km/s。v'1、v'2都是相对于太阳的速度。为降低发射难度,可使发射方向与公转方向一致,只需要使之沿地球公转轨道方向速度增加v'3,v'3=v'1-v'2=12.4 km/s,该速度是相对于地球的速度(如图2所示)。最后,再考虑地球引力的影响,只要使人造天体在脱离地球引力束缚时仍具有v'3的速度即可。由机械能守恒定律,对人造天体:  mv    -  =  mv     (10)。再由第二宇宙速度的求法得:  mv    -  =0(11)。(10)(11)两式联立得:v  =  =16.7 km/s。

  一个地球上的物体要想摆脱太阳的引力束缚,同时还要摆脱地球的引力束缚,其发射速度必须大于或者等于16.7 km/s,因此,第三宇宙速度又叫逃逸速度。

  综上所述,对三个宇宙速度的推导过程中,不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取,还要用到数学上的微积分知识等。这些规律的综合运用,必然对于完善学生的知识结构、激发学生的求知探索能力大有裨益,特别是对于尖子生的培养将会起到极大的促进作用。