等差、等比数列性质的灵活运用



  

  【摘要】数列的相关知识在高中数学教学中占有相当重要的位置,正确而熟练地掌握数列的性质对于解决数列问题有很大的帮助。
        【关键词】数列;性质;运用
        【Abstract】The sequence related knowledge holds the quite important position in the high school mathematics teaching, correctly and grasps the sequence the nature to have the very big help skilled regarding the solution sequence question.

    【Key words】Sequence; Nature; Using1. 对于等差数列{an},任意两项an、am的关系是:an=am+(n-m)d或am=an+(m-n)d
        例:{an}为等差数列,已知a5=2,a3=1,求通项公式
        解法一:∵an=a1+(n-1)d
        ∴a5=a1+4d=2
        a3=a1+2d=1
        解得a1=0,d=12
        ∴an=a1+(n-1)d=12(n-1)
        解法二:由等差数列性质可得:
        a5=a2+2d
        而a5=2,a3=1
        ∴2d=1,d=12
        ∴an=a5+(n-5)d=2+12(n-5)=12(n-1)
        第二种方法方便、快捷,而第二种方法恰恰是运用了等差数列的性质。
        2. 对于等差数列{an}来说,如果m+n=p+q(m、n、p、q都是正整数),那么就有am+an=ap+aq
        例:{an}为等差数列,已知a3=5,a17=11,求s19=?
        解法一:根据题意可得:
        a3=a1+2d=5………1
        a17=a1+16d=11……2
        ②-①:14d=6,d=37
        a1=297
        ∵sn=na1+n(n-1)d2
        ∴s19=19a1+19(19-1)d2
        =19×297+19×182×37
        =5517+5137=10647=152
        解法二:
        ∵{an}为等差数列
        ∴sn=n(a1+an)2
        s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
        很显然解法二非常快捷,计算量小。
        3. {an}为等比数列,sn为其前n项和,则有:sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比数列
        例:已知等比数列{an}的前m项和sm=10,前2m的和s2m=10,求s3m=?
        解法一:①假设公比q=1时,sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
        显然是矛盾的,因此公比q=1是错误的
        ②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
        s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
        ②÷①:1+qm=3qm=2
        由①和qm=2可得:a11-q=-10
        因此s3m=a1(1-q3m)1-q
        =a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
        =10×(1-2)(1+2+4)
        =10×7
        =70
        解法二:∵{an}是等比数列
        ∴sm,s2m-sm,s3m-s2m
        即10,20,s3m-30也成等比数列
        ∴10(s3m-30)=202
        ∴s3m-30=40
        s3m=70
        两种解法一对照,第二种方法太简便了。
        综上所述,数列性质的灵活运用的确可以达到简捷运算,化难为易的目的。