探求“鱼渔欲”三位一体的数学教学



  古人云:“授人以鱼,不如授之以渔”。陶行知先生也曾指出:“我以为好的先生不是教书,不是教学生,乃是教学生学”。但目前现实中很多数学课堂普遍存在“授人以鱼”,少见“授之以渔”和“授之以欲”。“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略,是改善这种状况的一个可行途径。“鱼渔欲”三位一体的数学教学指数学教学不仅要授人以“鱼”,更要“授人以渔”和“授人以欲”。其中“鱼”指基础知识与基本技能,“渔”指有效的学习方法和良好的学习习惯,“欲”指积极的情感、良好的态度、求知的兴趣和欲望。如何践行“鱼渔欲”三位一体的数学教学,促使学生学会、会学与乐学?下面以某中学周老师的“变化率问题”教学片断为案例来说明。

  一、教学片断及评析

  1.建立模型

  周老师首先呈现问题情境——某地某年3月份的气温记载(如下图),接着要求学生与同桌讨论以下两个问题:

  问题1:根据图像,如何用自己的语言描述两个时间段内的气温变化趋势的异同?

  问题2:如何用符号语言刻画这种变化趋势?

  然后,在综合学生结果的基础上,引导学生从生活经验的“陡坡”以及学习经验的“斜率”两方面,对气温变化快慢进行理解。引导学生从以下变式问题中抽象出模型。

  问题3:若把气温C看作时间t的函数,即C=f(t),则t1至t2这段时间内气温的变化率如何表示?

  问题4:若函数关系为y=f(x),那么当x从x1增加x2到时,其变化率又如何表示?

  最后,周老师要求学生先独立思考后小组交流讨论,小组代表展示与分享成果。学生通过类比、计算、分析与归纳,最终得出了平均变化率概念。

  评析:多次观摩“变化率问题”课堂,发现很多教师引入情境后,往往直接告诉学生变化快慢问题即是变化率问题,接着介绍变化率的求法,这种“掐头去尾烧中段”的处理,会让学生觉得变化率是枯燥乏味的“鱼”,难以收获捕获“变化率”这类“鱼”的方法,激发“捕鱼”的欲望。

  周老师在这里有了新的尝试。一般而言,新知的教学起点源于旧知的逻辑生长点和学生原有的经验生长点。周老师将变化率(旧知生长点)和学生对身边气温变化趋势的体验(经验生长点)融入问题情境中,引出变化率,让学生直观感知这条“新鱼”源于身边的“老鱼”,自然地导出了新知识学习的必要性。一方面,激活了学生原有的生活经验与认知经验,为新知识学习奠基;另一方面,让学生感受数学与生活实际的联系,一定程度上能增强学生学习数学知识的信念。

  在建立变化率模型时,周老师主要通过循序渐进的问题链引导学生思考。一方面,驱动学生经历观察、计算、比较、类比、归纳等数学学习的基本活动,体会变化率的来龙去脉,体验学习与研究变化率的抽象和模型思想,养成学生先独立思考后小组交流讨论的良好习惯。另一方面,问题链的循序渐进,易于回答,让学生收获成就,生成求知欲望。

  2.解释模型

  首先,周老师通过以下几个问题引导学生分析认识平均变化率:

  问题5:平均变化率概念有什么结构特征?

  问题6:请用自己的话描述变化率,并举出生活中变化率的例子。

  问题7:画出图像并思考变化率的几何意义。

  评析:解释模型是学习新内容的重要环节,主要意图是理解新的数学知识与技能[1]。在此阶段,大部分教师只是轻描淡写,一带而过,学生往往只是被动的聆听与记忆,或从具体事例中抽象出变化率后,就直接进入应用阶段,这种缺乏学生积极参与和以训练代替理解的教学,容易导致学生理解肤浅,难以内化模型,更难以培养学生良好的数学学习方法与习惯,激发学生数学学习兴趣。

  周老师在此环节却用心良苦,以精心设置的问题链引导学生多角度认识变化率模型。一方面,通过引导学生观察、分析平均变化率的结构特征,探索平均变化率的外延、变式,使学生深刻理解模型的本质属性,养成学生细心严谨的学习习惯;另一方面,突出数学多元表征教学,即引导学生把概念转化与转译成自然语言、符号语言、图形语言三种表征,这能促使学生深度理解与掌握模型[2]。总体来看,整个解释模型过程不但凸显了变化率模型的形成与分析,加深了模型的理解,让“鱼”有滋有味;并且渗透了“捕鱼”的方法,譬如归纳、抽象、数形结合、多元表征的转换与转译等等。整个过程以问题引领,激发了学生理解模型的欲望,并在自主建构中,感受到了学习乐趣。

  3.应用模型

  在应用模型阶段,周老师首先呈现例题:某位跳水运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请完成以下任务:

  任务(1) 物理学中的平均速度跟我们今天学习的平均变化率有什么联系?

  任务(2) 计算该运动员在以下时间段里的平均速度:①[1,2] ②[t1,t2] ③[2,2+△t]

  接着,先要求学生利用模型自主求解,并从中总结出求解的步骤,然后组织各小组进行成果展示,并按学生自评、组间互评、师评的顺序对成果进行评价。

  评析:对于新知的应用,一部分教师倾向于题海战术,往往为解题而解题,缺乏变通,且忽视学生的自我总结和评价反思。周老师的处理却让人眼前一亮。首先,将跳水训练与新知联系起来,使学生理解平均速度是平均变化率在物理学中的一个应用,体验到数学广泛的工具性,有利于培养学生的数学应用意识和数学情感。其次,任务(2)中的变式由易到难,由具体到抽象,符合学生的认知规律,这样的变式可达到让学生举一反三、触类旁通的目的,有利于学生从中总结解题步骤或规律,形成解题技能,达到了“捕鱼”效果。再次,周老师采用了自评、生评、师评等多元评价方式,既让学生在自评中反思自己的解题过程,也让其他学生有机会直面同学与教师的解题方法,并从中批判取舍,进一步挖掘或拓展问题。这种多元评价一方面可以促使学生灵活掌握知识,另一方面又可以促进学生观察、批判、反思与总结,锻炼批判与反思能力,激发学生学习情感,提高学生学习积极性。